ریاضیات و کاربردها

همانند حل معادلات درجهٔ اول برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور x ها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم ، پس داریم :

$a x 2 + b x + c = 0$

با حل معادله ی فوق مقادیر x را بدست می آوریم ، توجه کنید که a برابر با صفر نمی‌تواند باشد چون در این صورت معادله از نوع درجه اول می‌شود. پس با شرط a≠0 معادله را حل می کنیم :

$a(x^2+ {b \over a} x+ {c\over a}) = 0$

اگر ضرب چند عبارت برابر با صفر باشد پس حداقل یکی از آن ها صفر است ، از آنجا که a بنا بر شرط اولیه نمی‌تواند صفر باشد پس عبارت داخل پرانتر صفر می‌باشد ، پس داریم :

$x^2+ {b \over a} x+ {c\over a} = 0$

برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می کنیم :

$( x^2 + {b \over a} x ) + {c \over a} = 0$

$( x + {b \over 2a} )^2 - {b^2 \over 4a^2} + {c \over a} = 0$

$( x + {b \over 2a} )^2 - {b^2-4ac \over 4a^2} = 0$

$( x + {b \over 2a} )^2 = {b^2-4ac \over 4a^2}$

حالا از طرفین معادله جذر می گیریم تا مقدار x را درآوریم :

$x = \pm\sqrt{b^2-4ac \over 4a} - {b \over 2a}$

$x = {-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}$

در نتیجه معادله دارای 2 ریشهٔ زیر می‌باشد:

$x_1 = {-b + \sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}$

$x_2 = {-b - \sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}$

معمولاً عبارت $\sqrt{b^2-4ac}$ را برابر با حرف دلتای بزرگ $Δ$ نمایش می‌دهند، دلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.

طبق قضیهٔ تثلیث دلتا می‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند :

1 - $Δ > 0$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است ، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد

2 - $Δ = 0$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است ، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد

3 - $Δ < 0$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است و همانطور که می دانید فاصله عددی منفی نمی‌تواند باشد ، از سوی دیگر از آنجا که $Δ$ در زیر رادیکالی با فرجهٔ زوج است تنها می‌تواند مقادیر بزرگ‌تر یا مساوی صفر را اختیار کند.

ادامه نوشته

رياضي يکي از مهم ترين درس ها است و اهميت و ضرورت يادگيري آن به خصوص در اين زمان که دنيا به دنبال علوم و تکنولوژي است و تسلط بر آن ها مي تواند به بهتر شدن زندگي بشري کمک نمايد و يادگيري و نحوه ارائه آن يادگيري خيلي مهم است.

براي اينکه يک امتحان رياضي را به خوبي بدهيم بايد چه کار کنيم:

1.نسبت به رياضي ديد مثبت تري پيدا کنيد. براي اين کار ليستي از کاربردهاي رياضي را در رشته هاي مختلف و امور جاري زندگي بنويسيد. مثلاً کاربرد رياضي در ساختمان سازي.

2.مطالبي که هنگام مطالعه مي خوانيد حتي فرمول ها و معادلات را به زبان رايج فارسي برگردانيد و سوالات امتحان را نيز به زبان رايج فارسي برگردانيد

3.براي سريع حل کردن مسائل رياضي، تمرين کنيد و هنگام مطالعه وقت بگيريد که يک مساله در فلان موضوع را در چند دقيقه حل مي کنيد. هر چند عجله داشتن و شتاب زدگي توصيه نمي شود زيرا باعث اشتباه مي شود ولي سرعت عمل در جايي که شما متوجه راه حل شده ايد و آن را بلديد، در جلوگيري از کمبود وقت به شما کمک مي کند

4.مساله را گام به گام حل نماييد. که باعث فهم خوب مساله و حدس راه حل هاي درست مي گردد.

5قبل از انجام محاسبات، مساله را تجزيه و تحليل کنيد و با جزئيات طرح کنيد

6.برآوردي از پاسخ خود داشته باشيد، تا از مسير غلط رفتن، جلوگيري کند. مثلاً اين برآورد که اگر از اين راه حل بروم و به فلان جواب مي رسم و آيا واقعاً اين جواب مساله است.

7.از باز نمايي ذهني استفاده کنيد که باعث از بين رفتن وقفه ذهني مي شود. يعني تصوير مراحلي که مي خواهيد انجام دهيد، در ذهن خود آوريد و همچنين تصاوير ذهني مسائل مشابه را در ذهن خود بازسازي کنيد.

8.جوابي که داريد مي دهيد را مرتب وارسي کنيد که آيا مسير را درست مي رويد يا نه

9.در هنگام مطالعه، تمرين ها را به صورت کتبي انجام دهيد و از اينکه مسائل را ذهني حل کنيد، بپرهيزيد، زيرا موجب اشتباه مي شود.

10.مسائل را مشابه مسائلي که قبلاً ياد گرفتيد و حل کرديد، در نظر بگيريد و همچنين شباهت هاي آن را با مسائل ديگر پيدا کنيد. اين امر موجب از بين رفتن استرس مي شود

11.هنگام آمادگي براي امتحان مسائل زيادي را حل کنيد. از مثال ها و تمرين هاي کتاب غافل نشويد

12.همه وقت خود را صرف چند مساله سخت نکنيد. ابتدا مسائل آسان را حل کنيد. اگر ديديد مساله اي سخت است از آن عبور کنيد و بعد از پاسخ به تمام مسائل به آن برگرديد.

13.در صورتي که در حل بعضي مسائل مشکل داريد قبل از امتحان از معلم خود کمک بخواهيد تا يک بار ديگر براي شما توضيح دهد.

14.اگر نمي دانيد از کجا شروع کنيد، سوال را دوباره بخوانيد

15.مواظب اشتباهات پيش پا افتاده باشيد، زيرا هر چقدر که مسير را درست برويد ولي در يک محاسبه کوچک (جمع و تفريق) اشتباه کنيد، جواب شما غلط مي شود.

16.جواب مساله را بعد از اتمام آن، آزمايش کنيد

منبع: ادیبان

رسم مماس بر دایره فقط به کمک پرگار و خط کش غیر مدرج

طریقه ترسیم:

تذکر:در این رسم فقط مجاز به استفاده از پرگار و خط کش غیر مدرج(خط کشی که درجه بندی سانیمتر و میلیمتر ندارد و فقط برای رسم خط راست استفاده میشود)هستیم.

شروع: همونطور که در شکل اول می بینید میخواهیم از نقطه B مماسی بر دایره C رسم کنیم.

شکل 2: برای اینکار از نقطه به مرکز دایره وصل میکنیم (پاره خط OB)

شکل 3: حالا عمود منصف این پاره خط رو رسم میکنیم.(دهانه ی پرگار رو بیشتر از نصف پاره خط OB باز کنید و از دو سر این پاره خط دو کمان مساوی هم بزنید .حالا دو نقطه ی برخورد کمانها را بهم وصل کنید تا عمود منصف رسم شود.

شکل 4: همونطور که در این شکل می بینید با رسم عمود منصف نقطه ی وسط پاره خط(M) بدست میاد.

شکل 5:حالا دهانه ی پرگار رو به اندازهMBیا MOباز کنید و به مرکز نقطه ی M دایره ای بزنید.این دایره دایره اصلی ما رو در نقاط C,D قطع میکنه.

شکل 6:خوب کار به پایان رسید فقط کافیه از نقطه ی B به نقاط C,D وصل کنید و ادامه بدید تا خطهای مماس بر دایره رسم شوند.

جالب بود نه؟ خیلی ساده و در عین حال کاملاً دقیق.یکبار خودتون امتحان کنید تا بهتر متوجه بشید.

یادتون نره هر موقع صحبت از رسم شکل هندسی پیش میاد باید این کار با ابزار ترسیم (پرگار نقاله گونیا خط کش ....) انجام بشه و اندازه ها و ابعاد شکل باید دقیق باشد و نه بصورت فرضی.

منبع: رهیار

در کتاب درسی سال سوم راهنمایی یک روش اثبات برای درستی رابطه فیثاغورس آمده است . در زیر چهار روش متفاوت دیگر برای اثبات این رابطه درحد دانش آموزان دوره راهنمایی آورده می شود:

روش اول :ابتدا ارتفاع وارد بر وتر را رسم کرده و به کمک تشابه مثلث ها خواهیم داشت:

روش دوم : با چرخاندن مثلث ABC و کنار هم قرار دادن آنها یک ذوذنقه درست می شود. با استفاده از مساحت مثلثها خواهیم داشت:

روش سوم : با چرخاندن و کنارهم قرار دادن چهارمثلث مساوی یک مربع درست می شود . با استفاده از دستور مساحت مربع و مثلث خواهیم داشت:

روش چهارم : با چرخاندن یک مثلث به روشی دیگر و کنار هم قراردادن چهارمثلث برابر یک مربع درست می شود و با استفاده از مساحت خواهیم داشت:

منبع: دنیای زیبای ریاضیات

برای آموزش و تفهیم چهار عمل اصلی روشهای مختلفی وجود دارد . این کار به کمک بازیها و سرگرمیهای ریاضی بهتر صورت می گیرد . در زیر چند نمونه از سرگرمیهای آموزشی برای دانش آموزان دوره بتدایی و راهنمایی آورده می شود.

۱) در هریک از جدولهای زیر از علامتهای چهار عمل اصلی درجاهای خالی طوری استفاده نمایید تا به یک تساوی درست برسید .( روش کار همراه با یک مثال در شکل دیده می شود)

۵		۳		۹
	۱	=	۲
۷		۴		۸

۷		۳		۵
	۶	=	۱
۸		۲		۹

۱۴		۹		۵
	۲	=	۲
۸		۳		۳

۲) در تقسیم مقابل به جای هریک از حروف فارسی یک رقم قرار دهید ( صفر تا ۹) تا به جواب صحیح برسید . اگر درست حل نمایید با جای گذاری حروف از صفر تا ۹ در جدول پایین به یک عبارت فارسی دست خواهید یافت که به عنوان رمز این سرگرمی خواهد بود.

منبع: دنیای زیبای ریاضیات

دایره‌ای به شعاع ۱ واحد در نظر بگیرید . همان طور که در شکل زیر می‌بینیم مساحت چند ضلعی‌های منتظم محاط در این دایره با افزایش تعداد ضلع‌ها به سمت مساحت دایره که همانا عدد پی می‌باشد ، نزدیک و نزدیک تر می‌شوند .

منبع: جزیره ریاضی

منبع: وبلاگ جزیره ریاضی

آموزش هندسه بصورت تعاملی و کاملاً تجربی (پویا)

برای یادگیری مفاهیم بردارها , جمع متناظر بردار و تساوی بردارها

توضیحاتی پیرامون اولین سری آموزش هندسه پویای رهیار

همونطور که کمابیش در شکل زیر می بینید.

شما با مفهوم مختصات بردار آشنا میشوید.

بردار را جابجا میکنید و مختصات جدید اون رو پیدا میکنید. و جمع متناظر بردار رو مشاهده می کنید.

دو بردار مساوی رو خواهید شناخت و سعی خواهید کرد مختصات بردار ها را همانند سازی کنید تا دو بردار مساوی بدست آورید.

توضیح:

برای ورود به کارگاه آموزش هندسه رهیار کلیک کنید

لطفاً روی انیمیشن مقابل کلیک کنید تا به کارگاه آموزش هندسه وارد بشین. تا لود شدن کامل فایل جاوا صبر کنید.بسته به سرعت اینترنت شما ممکنه حد اکثر 4-5 دقیقه زمان ببره. یکی از خوبی های جاوا اینه که وقتی یکبار فایلهای مورد نیاز روی سیستم شما دانلود شد دفعات بعد احتیاج به دریافت اون ندارید. یعنی توی آموزشهای بعدی خیلی سریعتر خواهید تونست صفحه آموزش رو مشاهده کنید.

منبع: رهیار

منبع: وبلاگ مباحثی در ریاضی

دراین مقاله می خواهیم روشي براي به دست آوردن کوتاه ترين مسير بين دو نقطه ي دلخواه كه روي سطح استوانه اي شكلي هستند ، ارائه كنيم .

دو نقطه ي A و B را روی سطح استوانه درنظر می گیریم.عمودهای ، را برقاعده ي استوانه وارد می کنیم . طول های دو عمود و و کمان (كمان كوچك تر را در نظر بگيريد.)از قاعده ي استوانه را اندازه می گیریم و آن هارا به ترتیب c,b,a می نامیم .

منبع: انجمن ریاضی دانان جوان

ادامه نوشته

پيش به سوي نقطه ي تماس

انيميشني كه تعبيري هندسي از مفهوم مشتق ارائه مي دهد...

برگرفته از: انجمن ریاضی دانان جوان

مثلث ار اساسی ترین اشکال در هندسه میباشد.یک مثلث دارای سه راس است که سه ضلع این رئوس را به هم وصل میکند.در هندسه اقلیدسی این اضلاع خطوطی مستقیم هستند. ولی در هندسه کروی این اضلاع کمان هایی از دایره عظیمه میباشند.
این دو نوع مثلث را میتوانید در شکلهای روبرو مشاهده نمایید

img/daneshnameh_up/3/3c/mos4.jpg img/daneshnameh_up/2/2c/mos2.jpg

. منبع: http://daneshnameh.roshd.ir

ادامه نوشته

رابطه‌ فیثاغورث : یک اثبات بدون کلام از طریق فایل GIF

گروه ریاضی

منبع: جزیره ریاضی

مفهوم دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید

اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است.
حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید:

با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع یک به یک از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که در عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.(مانند شکل)

اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت:

متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند و می‌توان چنین ضابطه‌ای برای آن تعیین نمود:

حال در مثالی دیگر تابع

را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد با این تفاوت که این تابع دیگر یک به یک نمی‌باشد و فقط بین اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر بوجود می‌آورد.

منبع: http://daneshnameh.roshd.ir

ادامه نوشته

لف:نوشتن نمایش معمولی(مبنای 10) یک عدد اعشاری از مبنای دیگر

با یک مثال این مطلب را شرح میدهیم.

فرض کنید میخواهیم عدد _۵(۱۳/۲۲) را در مبنای ۱۰ بنویسیم. برای جزء صحیح عدد مانند اعداد طبیعی معمولی عمل میکنیم یعنی ۱*۵^۱+۳*۵^۰= ۸ حالا نوبت به جزء اعشاری عدد میرسد در این باره باید این نکته را یاد آوری کنیم:

منبع: وبلاگ مطالب ریاضی

ادامه نوشته

ضرب اعداد یک رقمی در عدد ۹

از دانش آموز می خواهیم که دستانش را روبروی خودش بگیرد.

حال می خواهیم ۲*۹ را محاسبه کند. برای محاسبه، انگشت شماره ۲(عددی که قرار است در ۹ ضرب بشود را بخواباند) پس از خواباندن انگشت مشاهده میشود در یک طرف انگشت خوابانده شده عدد ۱ و در طرف دیگر ۸ انگشت باز وجود دارد که می شود ۱۸ پس حاصل ۱۸=۲*۹

یا مثلا برای حل ۹*۵ باید انگشت شماره ۵ را بخواباند که پس از خواباندن انگشت شماره ۵ یک طرف ۴ و در طرف دیگر ۵ انگشت باز می میماند که میشود ۴۵

منبع: وبلاگ جزیره ریاضی

در جبر عموما لگاریتم معمولی یا لگاریتم در پایه 10 عدد b را توانی تعریف می‌کنند که 10 باید به آن برسد تا b بدست آید: . فرض کنیم چنین عددی موجود بوده و از لگاریتم‌ها برای ساده‌کردن ضرب اعدادی که ارقام اعشاری زیادی دارند استفاده می‌کنیم.

تعریف

تابع لگاریتم طبیعی بصورت زیر نمایش داده می‌شود:

به ازای هر x بزرگتر از 1 ، این انتگرال مساحت ناحیه‌ای را نشان می‌دهد که از بالا به خم از پایین به محور t از طرف چپ به خط t=1 ، و از طرف راست به خط t=x محدود است.

منبع: زندگی با ریاضیات

ادامه نوشته

اتحاد

در ریاضیات اتحادها تساوی هایی هستند که به ازای هر مقدار عددی از دامنه خود که بجای متغییرهایشان قرار دهیم همواره برقرار باشند. به عنوان مثال تساوی

برای هر x عضو دامنه برقرار است. لذا این عبارت جبری یک اتحاد است، اما تساوی

فقط برای x=1 برقرار است. پس این عبارت یک اتحاد نمی باشد. در واقع در مورد یک اتحاد در اصل به یک تساوی بدیهی چون 0=0 می رسیم.
به عنوان مثال در اتحاد مثال زده شده

دو طرف ساده شده و تساوی 0=0 حاصل می شود.
به این ترتیب تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه(مجموعه جواب معادله) برقرار است.
عبارات زیر نمونه ای از اتحاد است:

منبع: وبلاگ مطالب جدید و تازه ریاضیات(http://www.pink-punter-en.blogfa.com/)

ادامه نوشته

برای دریافت فایل PDF راهنمای تدریس فصل اول کتاب حسابان اینجا کلیک کنید.

منبع:سایت دفتر برنامه ریزی و تالیف کتب درسی ریاضی

وبلاگ مرجع :وبلاگ سر گروه ریاضی ناحیه 1 ارومیه

ریاضیات و کاربردها

تعیین خارج قسمت چندجمله ای به روش هورنر

حل معادلات درجهٔ دوم

چگونه امتحان رياضي را آسان کنيم؟

آموزش رسم مماس بر دایره از نقطه ای خارج دایره

اثباتهای مختلف رابطه فیثاغورس ( سوم راهنمایی)

آموزش چهار عمل اصلی برای دانش آموزان دوره ابتدایی و راهنمایی

تقریب عدد پی

روشی برای یافتن مساحت دایره را به صورت انیمیشن

آموزش هندسه دوره راهنمایی بصورت تعاملی و کاملاً تجربی (پویا)

آموزش چند رسانه ای دروس ریاضی دبیرستان

كوتاه ترين مسير روي استوانه

انیمیشنی برای نمایش مشتق

مثلث

پویا نمایی

مفهوم دنباله

مفهوم دنباله

مطالبی پیرامون مبنای اعشاری

آموزش ضرب به کمک انگشتان دست !

تابع لگاریتم

تعریف

منبع: زندگی با ریاضیات

اتحاد

اتحاد

راهنمای تدریس فصل اول حسابان

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها